基本內容

數學(xué)反演變換（invereive transformation)

·反演變換定義：設在平面上給定了半徑為r的圓O，若A′為過(guò)定點(diǎn)O的直線(xiàn)OA上一點(diǎn)，且有向線(xiàn)段OA與OA′滿(mǎn)足OA·OA′=k(k為非零常數），則這種變換叫做關(guān)于⊙O（r）的反演變換，簡(jiǎn)稱(chēng)反演。稱(chēng)A′為A關(guān)于⊙O（r）的反演點(diǎn)，同樣，A為A′關(guān)于⊙O（r）的反演點(diǎn)；圓心O稱(chēng)為反演中心或反演極；圓半徑r稱(chēng)為反演半徑；⊙O（r）稱(chēng)為反演（基）圓。k稱(chēng)為反演冪，1）當k=r^2（r的平方）＞0時(shí)，有向線(xiàn)段OA與OA′同向，A與A′在反演極同側，這種反演變換稱(chēng)為正冪反演，亦叫雙曲線(xiàn)式反演變換；2）當k=-r^2＜0時(shí)，有向線(xiàn)段OA與OA′反向，A與A′在反演極異側，這種反演變換稱(chēng)為負冪反演，亦叫橢圓式反演變換。在某一反演變換中相互對應的兩個(gè)圖形互為反演圖形或反象。

正冪反演的性質(zhì)：

1、反演中心不存在反演點(diǎn)。不共線(xiàn)的兩對反演點(diǎn)共圓，且此圓與反演基圓正交。與反演基圓正交的圓，其反象為原圓。

2、反演變換φ把通過(guò)反演中心O的任一條直線(xiàn)變成自身。即通過(guò)反演中心的任何直線(xiàn)都是該反演變換下的不變圖形。（直線(xiàn)→直線(xiàn)）

3、反演變換φ把任一條不通過(guò)反演中心O的直線(xiàn)變成一個(gè)通過(guò)反演中心O的一個(gè)圓，而且這個(gè)圓周在點(diǎn)O的切線(xiàn)平行于該直線(xiàn)。（直線(xiàn)→圓）

4、反演變換φ把任一個(gè)通過(guò)反演中心O的圓周變成一個(gè)不通過(guò)反演中心O的一條直線(xiàn)，而且這條直線(xiàn)平行于該圓的過(guò)點(diǎn)O的切線(xiàn)。（圓→直線(xiàn)）

注：性質(zhì)3和4互為逆命題。

5、反演變換φ把任一個(gè)不通過(guò)反演中心O的圓周變成不能過(guò)反演中心O的圓周。（圓→圓）

由于可以把直線(xiàn)看成圓周，上述性質(zhì)2—5可經(jīng)綜合為

定理一 反演變換把（廣義）圓周變成（廣義）圓周。這個(gè)定理常稱(chēng)為反演變換的保圓性。

6、任何兩條直線(xiàn)在它們的交點(diǎn)A的夾角，等于它們的反演圖形在相應點(diǎn)A′的夾角，但方向相反。

7、兩個(gè)相交圓周在交點(diǎn)A的夾角等于它們的反演圖形在相應點(diǎn)A′的夾角，但方向相反。

8、一條直線(xiàn)和一個(gè)圓周在交點(diǎn)A的夾角等于它們的反演圖形在相應點(diǎn)A′的夾角，但方向相反。

上述性質(zhì)6—8可經(jīng)綜合為

定理二 兩相交（廣義）圓周在交點(diǎn)A的夾角，等于它們的反演象（廣義）圓周在相應點(diǎn)A′的夾角，但方向相反。定理二稱(chēng)為反演變換的反向保角性。

因反演變換具有保圓性和反向保角性而成為證題和作圖中的重要工具。由定理一、二易得：

9、正交兩圓其反象仍正交。

9、相切兩圓的反象仍相切，若切點(diǎn)恰是反演中心，則其反象為兩平行線(xiàn)。

負冪變換可以轉化為一次正冪變換和一次關(guān)于反演極反射的積來(lái)代替。

·作已知點(diǎn)的反演點(diǎn)的方法：

給出反演極O和反演冪k＞0，作點(diǎn)A的反演點(diǎn)A′。

令k=r^2，作出反演基圓⊙O（r），

1）若點(diǎn)A在⊙O（r）外，則過(guò)點(diǎn)A作圓的切線(xiàn)(兩條),兩個(gè)切點(diǎn)相連與OA連線(xiàn)交點(diǎn)就是點(diǎn)A′。

2）若點(diǎn)A在⊙O（r）內，則把上述過(guò)程逆過(guò)來(lái)：連結OA，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)垂直于OA，直線(xiàn)與⊙O（r）的交點(diǎn)處的切線(xiàn)的交點(diǎn)就是點(diǎn)A′。

3）若點(diǎn)A在⊙O（r）上，反演點(diǎn)A′就是點(diǎn)A自身。